Quaternions 정리1

복수수의 확장판

표현

q = ( v, w) = (x, y, z, w) = xi + yj + zk + w 

v: 사원수의 허수부, (  i, j, k는 허수 단위)

w: 사원수의 실수부

혹은

q = v + s 

v: 사원수 허수부

s: 사원수 실수부

허수부들의  곱 성질

i² + j² + k² = -1

i j = -j i = k

j k = -k j = i

k i = -i k = j

허수부에 더하기, 크기, 내적, 외적 등 모든 벡터 연산 사용 가능

두개의 사원수 q, r곱 ( 허수 단위들간의 곱셈을 비가환적)

qr = (iq_x + jq_y + kq_z + q_w) (ir_x + jr_y + kr_z + r_w)

     = i (q_yr_z - q_zr_y + r_wq_x + q_wr_x) + j (q_zr_x - q_xr_z + r_wq_y + q_wr_y) + k (q_xr_y - q_yr_x + r_wq_z + q_wr_z)

         + q_wr_w - q_xr_x - q_yr_y - q_zr_z

     =( q_v x r_v + r_wq_v + q_wr_v, q_wr_w - q_v • r_v)

|  i   j   k |

| q_x q_y q_z |

| r_x r_y r_z    |

외적 공식은 i (q_yr_z - q_zr_y) - j (q_xr_z - q_zr_x ) + k (q_xr_y - q_yr_x) 

덧셈:  q + r = (q_v, q_w) + (r_v, r_w) = (q_v +  r_v, q_w  + r_w)

공액(켤레, conjugate): q* = (q_v, q_w)* = (-q_v, q_w)

놈(norm): ||q||² = n(q) = qq* = q_v .q_v + q_w² = q_x² + q_y² + q_z² + q_w² (실수부만 남음)

항등 사원수: i = (0, 1)

곱셈역(multiplicative inverse): q^-1

q^-1q = qq^-1 = 1이 만족 해야 함, 역도 마찬가지로 만족해야 함

놈의 정의로 부터 유도함

||q||² = qq*   ⇔  1 = qq* / ||q||² , q^-1 = q* / ||q||²

스칼라 곱은 가환적

(가환적: 연산의 순서를 바꾸어도 그 결과가 변하지 않는 일

 실수 전체의 집합에서는 덧셈과 곱셈이 가환적)

sq = (0, s) (q_v, q_w) = (sq_v, sq_w)

qs = (q_v, q_w) (0, s) = (sq_v, sq_w)

공액 규칙:

(q*)* = q

(q + r)* = q* + r*

(qr)* = r* q*

놈의 규칙:

n(q*) = n(q)

n(q r) = n(q) n(r)

곱셈의 법칙

선형성:

p ( sq + tr ) = spq + tpr

( sp + tq ) = spr + tqr

결합법칙:

p(qr) = (pq)r

단위 사원수: q = (q_v, q_w)는 n(q)=1

그러므로  q = (sinøu_q, cosø) = sinøu + cosø 이 

||u_q|| = 1인 3차원 벡터 u_q에 대해 만족됨

이유: u_q • u_q = 1 =||u_q||² 이 만족되는 경우에 다음과 같이 되기 때문

n(q) = n(sinøu_q, cosø) = sin² ø (u_q • u_q) + cos²ø = sin²ø + cos²ø = 1

단위 사원수는 매우 효율적인 방법으로 회전 & 방향 전환 가능

복소수의 2차원 단위 벡터는 cosø + i sin ø = e ^iø

사원수에서 이와 동등한 식은 q = sinøu_q + cosø = e^øuq

단위 사원수에 대한 

로그: log(q) = log(e^øuq) = øu_q

멱함수: q^t = (sinøu_q + cosø)^t  = e^{ø t uq} = sin(øt)u_q + cos(øt)

참고 자료: Real-Time Rendering 2판