AABB와 RAY 교차 ( Intersecting AABB and ray )

Slab:

Kay 와  Kajiya가 제안

두 개의 평행한 평면 사이의 무한한 공간

Slab과  Ray의 교차를 이용하여 AABB 교차를 판단

광선(Ray): r(t) = o + td

o: 원점

t: 광선상의 정점들을 생성하는데 사용되는 변수

d: 방향 벡터 ( 일반적으로 편의 위해 정규화 함, ||d|| = 1 )

광선이 Slab의 한 평면과 교차하는 t 값을 구하여 사용

평면:  n + D = 0

평면 위의 한 점 x의 경우 다음을 만족함

n • x + D = 0

그러므로 t 값을 구하기 위해 x를 t값을 가지는 광선의 한점으로 대치함

n • (r(t)) + D = 0

n • ( o + td ) + D = 0

(n • o) + t(n • d) + D = 0

t = ( -(n • o)  - D ) /  (n • d)

여기서  AABB의 특징들을 이용하면 t에 대한 식이 간단히 됨

1. AABB는 표준 기저와 축이 같아서

평면 n의 값이 각 축마다 2개 요소씩 0이 됨

예) x축의 경우: n_x  = (1, 0, 0)

그래서 n_x • o = (1, 0, 0) • (o_x, o_y, o_z) = o_x

 i  ∈ { x, y, z } 이면 위의 t 에 관한 식은 정리 되어서

t = ( -o_i  - D ) /  d_i

2. 추가로 평면이 표준 기저 축과 평행하므로 평면의 D의 값은

AABB의 min[i], max[i]값을 사용할 수 있음 ( i  ∈ { x, y, z } ) 

또한, d_i의 절대값이 아주 작을 경우 해당되는 축과 평행하게 됨

이때는 해당되는 축의 원점 o_i 값이 AABB의 min, max를 

벗어나면 교차 상태가 아니게 됨

광선과 Slab의 평면들과의 교차점을 찾아 t_min, t_max값을 찾는다.

예를 들어 현재 축에 해당되는 Slab 평면과 교차점 찾는 경우

t_min: 광선의 시작점으로 부터 처음 만나는 Slab 평면의 교차점

t_max: 두번째 Slab 평면과 교차점 

이렇게 각 축마다  t값을 구하면서 t_min, t_max가 서로 가까운 거리가 

유지 되도록 한다.

작업 중간에 t_min > t_max 이렇게 값이 서로 바뀌는 경우가 발생하면

AABB는 서로 교차하지 않는 것이 된다.

  

 //o: 광선의 원점

//d: 광선의 방향벡터

//p: 첫번째 교차점

bool AABBtoRay(AABB a, Vector3 o, Vector3 d, Vector3& p)

{

        float t_min = 0;

        float t_max = MAX_FLOAT;

for(int i=0; i<3; i++)

{

if(abs(d[i]) < EPSILON)

{

if( o[i] < a.min[i] ||

  o[i] > a.max[i] )

return false;

}

else 

{

float denom = 1.0f / d[i];

float t1 = (-o[i] - a.min[i]) * denom;

float t2 = (-o[i] - a.max[i]) * denom;

if(t1 > t2)

{

swap(t1, t2);

}

t_min = max(t_min, t1);

t_max = min(t_max, t2);

if(t_min > t_max)

return false;

}

}

p = o + t_min * d;

return true;

}

참고자료:
Real - Time Rendering 2판
Real - Time Collision Detection